悬链线各点位置的确定

下了看看，也许有用

悬链线问题    ——吕建冬(学号0910247)    P92 2-13
如本题图所示,在两根登高的立柱之间悬挂均匀重绳AB.绳中点C处的张力比它本身的重量大小如何 试分析这与悬点的角度θ有什么关系.
将绳子从中间分开只研究左半边,从整体受力来分析这半段绳只受竖直向下的重力G和与竖直方向夹角为θ的柱的支持力T以及最低点的右半段绳子给的水平向右的张力H,三个力平衡.
所以 Tcosθ=G        Tsinθ=H        即 H=Gtanθ
两个问题都可以解决了
但是 θ角的大小与什么有关   绳子各点的张力大小又如何呢
首先判断其函数表达式    看起来像抛物线    吊根线验证一下    画出各点切线
-2.38          1
斜率
位置1.7   0.9   0.6   0   -0.6   -1   7   6   5   4   3   2
虽然存在误差   但看来好像不是二次函数  只好计算一下  我们只关注其左半段
最低点处受水平向右的拉力H,左悬挂点处受一个斜向上的拉力T,
设T和水平方向夹角为θ,绳子一半的质量为m,
受力分析有: Tsinθ=mg  Tcosθ=H,  tanθ=dy/dx=mg/H;  mg= η s;
其中s是左半段绳子的长度,η是绳子密度,
dy/dx=η s/H;    s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;
所以dy/dx= η ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H     令p=dy/dx
p'= (η/H)*√(1+p^2)=dp/dx     得∫dp/√(1+p^2)=∫η/H*dx
得ln[p+√(1+p^2)]=ηx/H+C    当x=0时 dy/dx=p=0 得C=0
整理得ln[p+√(1+p^2)]=ηx/H    1+p^2=e^(2ηx/H)-2pe^(ηx/H)+p^2
即p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=dy/dx    得y=H/(2η)*[e^(ηx/H)+e^(-ηx/H)]
令a=H/η     则y=a* [e^(x/a)+e^(-x/a)]/2= a*cosh(x/a).
这样悬链线的坐标方程就确定了
由tanθ=dy/dx=mg/H=η s/H 和p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=dy/dx
可知 s=(H/η)[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=ash(x/a)
于是现有等式
Tsinθ=mg Tcosθ=H    tanθ=dy/dx=mg/H=ηs/H
p=[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=sh(x/a)      s=(H/η)[e^(ηx/H)-e^(-ηx/H)]/2=ash(x/a)
即 已知悬链线的线密度η 质量m 长度s中的任意两个和两悬点间的距离2x0
便可以知道全部信息
分析:
对于一条悬链线 Q(x0) 若截取-x1~x1 的部分将两端点改为新的悬点 且位置不变 则这部分悬链线的形状不变 各点张力不变 而此时悬点所受的力T(x1)等于原状态时x1处绳子的张力
所以要求绳子各处张力只需先通过测量计算确定a的值
再求各点张力即可
谢谢

悬链式交联电缆生产线牵引装置的力学原理.pdf

这个算法应该就是悬链线公式，已知x、a得出Y。。。这个很复杂，我就不下了